Видимое положение светил и любых точек на небесной сфере определяется двумя сферическими координатами. В астрономии используется несколько различных систем небесных координат. Выбор той или иной системы координат определяется содержанием выполняемой задачи. Однако, принцип построения всех систем сферических координат един.
На небесной сфере выбирается большой круг, принимаемый за основной круг системы координат. Именно он определяет название системы координат. Две диаметрально противоположные точки небесной сферы, удаленные на от всех точек основного круга, называются полюсами этого круга.
Одна координата отсчитывается вдоль основного круга от некоторой выбранной точки, называемой нуль – пунктом системы координат. Вторая координата отсчитывается от основного круга в перпендикулярном направлении, вдоль большого круга, проходящего через полюса основного круга.
Рассмотрим наиболее часто используемые системы небесных координат.
Горизонтальная система координат. За основной круг принимается математический горизонт . Его полюсами являются точки зенита (Z ) и надира (Na ). Нуль-пунктом в горизонтальной системе координат является точка юга S на горизонте (рис. 2.1).
Положение небесного светила в горизонтальной системе определяется двумя координатами – азимутом А , изменяющимся в пределах от 0° до 360°, и высотой h , принимающей значения от 0° до ±90°.
Азимут А отсчитывается вдоль математического горизонта от точки юга S в западном направлении. Азимуты основных точек горизонта:
Рис. 2.1. Горизонтальная система координат
Вторая координата – высота h – отсчитывается вдоль вертикального круга от математического горизонта до светила. Над горизонтом высота светила положительна, под горизонтом – отрицательна. Все точки горизонта имеют высоту 0°, зенит – 90°, надир – -90°.
В практике наблюдений часто измеряют не высоту h , а зенитное расстояние , то есть, удаленность светила от точки зенита до светила вдоль вертикального круга. Очевидно, что связь между высотой и зенитным расстоянием определяется формулой:
| . | (2.1) |
Зенитное расстояние всегда положительно и изменяется в пределах от (точка Z ) до (Na ). Все точки, лежащие на одном альмукантарате, имеют одинаковую высоту и зенитное расстояние.
При суточном вращении небесной сферы горизонтальные координаты светил непрерывно изменяются, принимая в различные моменты времени строго определенные различные значения. Это позволяет заранее вычислять горизонтальные координаты небесных светил и определять условия их видимости в заданные моменты времени. Но для составления звездных карт, списков и каталогов небесных объектов горизонтальная система координат не пригодна. Для этой цели требуется такая система координат, в которой вращение небесной сферы не влияло бы на значения обеих координат светила.
Экваториальные системы координат. Для неизменности сферических координат необходимо, чтобы координатная сетка вращалась вместе с небесной сферой. Наиболее пригодны для этих целей экваториальные системы координат . В них за основной круг принимается небесный экватор , полюсами которого являются северный и южный полюсы мира .
Первая экваториальная система координат. За нуль-пункт в первой экваториальной системе принимается южная точка небесного экватора , не изменяющая своего положения на небе относительно горизонта при суточном вращении неба. От этой точки вдоль небесного экватора в направлении суточного вращения небесной сферы отсчитывается координата, называемая часовым углом t (рис. 2.2). Часовые углы измеряются в часовой мере и пределы их значений: от до .Вторая координата – склонение d . Так называется дуга круга склонения от небесного экватора до светила. Склонение измеряется в градусной мере и изменяется в пределах: от 0 0 до . В северном полушарии неба склонение положительно, а в южном отрицательно.
Иногда вместо склонения используется так называемое полярное расстояние , измеряемое дугой круга склонения от северного полюса мира до светила. Полярное расстояние всегда положительно и изменяется в пределах от (точка ) до (). Полярное расстояние связано со склонением светила следующим соотношением:
| . | (2.2) |
Все точки небесной сферы, лежащие на одной небесной параллели, имеют одно и тоже склонение. При суточном вращении небесной сферы любое светило движется, описывая круг, вдоль небесной параллели, при этом его склонение не изменяется. Однако вторая координата – часовой угол светила – при суточном вращении неба непрерывно меняется. В связи с этим использовать первую экваториальную систему координат при составлении звездных карт и списков звезд нельзя.
Рис. 2.2. Экваториальные системы координат
Обычно первая экваториальная система координат используется в процессе астрономических наблюдений при наведении телескопа на светило.
Вторая экваториальная система небесных координат. В этой системе координат основной круг – небесный экватор, а нуль-пункт – точка весеннего равноденствия на нем. Она вместе со всеми точками небесного экватора участвует в суточном вращении небесной сферы.
Во второй экваториальной системе координат положение светила на небесной сфере также определяется двумя координатами (рис. 2.2). Одна из них – по-прежнему – склонение δ . Другая называется прямым восхождением и обозначается .
Прямым восхождением называется дуга небесного экватора от точки весеннего равноденствия ^ до точки пересечения небесного экватора с кругом склонения светила. Прямое восхождение всегда положительно, отсчитывается в направлении против суточного вращения небесной сферы, то есть с запада на восток, измеряется во временных единицах и изменяется в пределах от 0 h до 24 h .
Координаты светила во второй экваториальной системе не меняются при суточном вращении небесной сферы. Поэтому именно она используется в звездных картах и атласах, в каталогах и списках небесных объектов.
Из рисунка 2.2 видно, что сумма часового угла и прямого восхождения для любого светила численно равна часовому углу точки весеннего равноденствия: . Этот угол принято называть местным звездным временем.
На практике используются и другие системы небесных координат. Например, при изучении движения тел солнечной системы обычно пользуются эклиптической координатной сеткой, где в качестве основного круга выступает эклиптика. Исследование структуры нашей Галактики удобнее всего производить в галактической системе небесных координат, в которой основным кругом является галактический экватор.
Экваториальные координаты (прямое восхождение и склонение ) звезд, определяющие их положение на небесной сфере относительно небесного экватора, не зависят от положения наблюдателя на земной поверхности. В то же время вид самой небесной сферы, то есть, расположение ее элементов относительно истинного горизонта, зависит исключительно от географической широты места наблюдения, что находит свое выражение в теореме о высоте северного полюса мира над горизонтом. Напомним ее формулировку: высота северного полюса мира над горизонтом численно равна географической широте места наблюдения.
Поэтому изменение высоты и азимута небесного светила при суточном вращении небесной сферы и условия его видимости в разных местах Земли зависят не только от склонения светила , но и от географической широты места наблюдения на земной поверхности.
Рис. 2.3. Кульминации светила
Как мы знаем, при суточном вращении небесной сферы любое светило движется вдоль небесной параллели. При этом оно дважды в сутки пересекает небесный меридиан. Моменты пересечения светилом небесного меридиана называются кульминациями . Различают две кульминации светила – верхнюю и нижнюю. Верхняя кульминация , когда высота светила максимальна, происходит в южной стороне неба, над точкой юга на горизонте (рис. 2.3.). В момент нижней кульминации , происходящей вблизи точки севера на горизонте, высота светила имеет наименьшее значение. Высоту светила в верхней и нижней кульминациях можно рассчитать по формулам
| , | (2.3) |
| . | (2.4) |
В каждом месте земной поверхности с определенной географической широтой , условия видимости небесных светил зависят от соотношения их склонения и широты . В зависимости от этого соотношения одни светила являются незаходящими в данном месте Земли, другие – невосходящими, третьи – восходят и заходят. Причем продолжительность их пребывания над горизонтом на протяжении суток и положение точек их восхода и захода опять-таки зависят от соотношения и (рис. 2.4). Условия видимости светил выводятся из формул, определяющих их высоту в верхней и нижней кульминации.
Рис. 2.4. Области незаходящих и невосходящих светил
Светила, которые даже в момент нижней кульминации не уходят под горизонт, то есть , называются незаходящими . На основе этого определения можно записать условие незаходимости :
Светила, верхняя кульминация которых происходит над горизонтом, а нижняя – под горизонтом, называются восходящими и заходящими . Условие восходимости и заходимости имеет вид:
| . | (2.7) |
Соотношение между и определяет также и расположение светила относительно зенита в момент верхней кульминации:
при верхняя кульминация светила происходит к югу от зенита;
при в момент верхней кульминации светило проходит через точку зенита;
при верхняя кульминация светила наблюдается к северу от зенита.
Поэтому при вычислении зенитного расстояния или высоты светила в верхней кульминации, около числового результата необходимо проставить буквы S или N (юг или север), указывающие направления верхней кульминации. Кроме того, поскольку высота светил может быть положительной и отрицательной, перед числовым ее значением следует обязательно поставить соответствующий знак.
Для определения условий видимости небесных светил в южном полушарии Земли нужно помнить, что там над истинным горизонтом находится южный полюс мира, большинство видимых небесных светил принадлежит южной небесной полусфере и имеет отрицательное склонение (), причем в нижней кульминации светила проходят через небесный меридиан над точкой юга или под ней. Поэтому при расчетах проще всего считать географическую широту точек южного полушария Земли и склонение небесных светил южной небесной полусферы положительными, а окончательному результату приписывать противоположное направление (N вместо S и наоборот). При вычислениях следует обязательно выполнять чертежи, которые дают наглядное представление о решаемых задачах и предохраняют от возможных ошибок.
Рассмотренные ранее условия видимости светил наглядно демонстрируются на модели небесной сферы. Помня, что всегда высота полюса мира , можно установить модель небесной сферы на определенную географическую широту и, укрепив насадки-светила в разных точках модели (в точках с различным склонением), увидеть при вращении модели различные суточные пути светил, плоскости которых наклонены к плоскости истинного горизонта под одним и тем же углом .
; ) позволяет представить себе вид звездного неба на этих широтах.Высота полюса мира над горизонтом
Рассмотрим, какова высота полюса мира над горизонтом, по рисунку 2.5, где часть небесной сферы и земной шар изображены в проекции на плоскость небесного меридиана. Пусть OP - ось мира, параллельная оси Земли; OQ - проекция части небесного экватора, параллельного экватору Земли; OZ - отвесная линия. Тогда высота полюса мира над горизонтом h P = ∠ PON , а географическая широта j = ∠ Q 1 O 1 O . Очевидно, что эти углы (PON и Q 1 O 1 O ) равны между собой, поскольку их стороны взаимно перпендикулярны (OO 1 ⊥ ON , а OQ ⊥ OP ). Отсюда следует, что высота полюса мира над горизонтом равна географической широте места наблюдения : h P = j. Таким образом, географическую широту пункта наблюдения можно определить, если измерить высоту полюса мира над горизонтом.
В зависимости от места наблюдателя на Земле меняется вид звёздного неба и характер суточного движения звёзд.
Рис 2.5 Высота полюса мира над горизонтом Рис. 2.6 Суточное движение светил на полюсе Земли
Рис. 2.7. Суточное движение светил в средних широтах Рис 2.8 Высота светила в кульминации
Рис. 2.5. Высота полюса мира над горизонтом
Проще всего разобраться в том, что и как происходит, на полюсах Земли. Полюс - такое место на земном шаре, где ось мира совпадает с отвесной линией, а небесный экватор - с горизонтом (рис. 2.6). Для наблюдателя, находящегося на Северном полюсе, Полярная звезда видна близ зенита. Здесь над горизонтом находятся только звёзды Северного полушария небесной сферы (с положительным склонением). На Южном полюсе, наоборот, видны только звёзды с отрицательным склонением. В обоих случаях, двигаясь вследствие вращения Земли параллельно небесному экватору, звёзды остаются на неизменной высоте над горизонтом, не восходят и не заходят.
Отправимся с Северного полюса в привычные средние широты. Высота Полярной звезды над горизонтом будет постепенно уменьшаться, одновременно угол между плоскостями горизонта и небесного экватора будет увеличиваться. Как видно из рисунка 2.7, в средних широтах (в отличие от Северного полюса) лишь часть звёзд Северного полушария неба никогда не заходит. Все остальные звёзды как Северного, так и Южного полушария восходят и заходят.
Высота светила в кульминации
Рис. 2.9. Суточное движение светил на экваторе
При своём суточном движении светила дважды пересекают небесный меридиан - над точками юга и севера. Момент пересечения небесного меридиана называется кульминацией светила . В момент верхней кульминации над точкой юга светило достигает наибольшей высоты над горизонтом. На рисунке 2.8 показано положение светила в момент верхней кульминации. Как известно, высота полюса мира над горизонтом (угол PON ): h P = j. Тогда угол между горизонтом (NS ) и небесным экватором (QQ 1) будет равен 180° – j – 90° = 90° – j. Угол MOS , который выражает высоту светила M в кульминации, представляет собой сумму двух углов: Q 1 OS и MOQ 1 . Величину первого из них мы только что определили, а второй является не чем иным, как склонением светила M , равным d.
Таким образом, мы получаем следующую формулу, связывающую высоту светила в кульминации с его склонением и географической широтой места наблюдения:
h = 90° – j + d.
Зная склонение светила и определив из наблюдений его высоту в кульминации, можно узнать географическую широту места наблюдения.
Продолжим наше воображаемое путешествие и отправимся из средних широт к экватору, географическая широта которого 0°. Как следует из только что выведенной формулы, здесь ось мира располагается в плоскости горизонта, а небесный экватор проходит через зенит. На экваторе в течение суток все светила побывают над горизонтом (рис. 2.9).
Вопросы 1. В каких точках небесный экватор пересекается с линией горизонта? 2. Как располагается ось мира относительно оси вращения Земли; относительно плоскости небесного меридиана? 3. Какой круг небесной сферы все светила пересекают дважды в сутки? 4. Как располагаются суточные пути звёзд относительно небесного экватора? 5. Как по виду звёздного неба и его вращению установить, что наблюдатель находится на Северном полюсе Земли? 6. В каком пункте земного шара не видно ни одной звезды Северного небесного полушария?
Упражнение 4 1. Географическая широта Киева 50°. На какой высоте в этом городе происходит верхняя кульминация звезды Антарес, склонение которой равно –26°? Сделайте соответствующий чертёж. 2. Высота звезды Альтаир в верхней кульминации составляла 12°, склонение этой звезды равно +9°. Какова географическая широта места наблюдения? Сделайте необходимый чертёж. 3. Определите склонение звезды, верхняя кульминация которой наблюдалась в Москве (географическая широта 56°) на высоте 47°над точкой юга. 4. Каково склонение звёзд, которые в вашем городе кульминируют в зените; в точке юга? 5*. Какому условию должно удовлетворять склонение звезды, чтобы она была незаходящей для места с географической широтой j; невосходящей? 6*. Докажите, что высота светила в нижней кульминации выражается формулой h = j + d– 90°.
Небесная сфера - это воображаемая сферическая поверхность произвольного радиуса, в центре которой находится наблюдатель. Небесные тела проектируются на небесную сферу .
Из-за малых размеров Земли, в сравнении с расстояниями до звезд, наблюдателей, расположенных в разных местах земной поверхности, можно считать находящимися в центре небесной сферы . В действительности никакой материальной сферы, окружающей Землю, в природе не существует. Небесные тела движутся в беспредельном мировом пространстве на самых различных расстояниях от Земли. Эти расстояния невообразимо велики, наше зрение не в состоянии их оценить, поэтому человеку все небесные тела представляются одинаково удаленными.
За год Солнце описывает большой круг на фоне звездного неба. Годичный путь Солнца по небесной сфере называется эклиптикой. Перемещаясь по эклиптике . Солнце в равноденственных точках дважды пересекает небесный экватор. Это бывает 21 марта и 23 сентября.
Точка небесной сферы, которая остается неподвижной при суточном движении звезд, условно называется северным полюсом мира. Противоположная точка небесной сферы называется южным полюсом мира. Жители северного полушария его не видят, т. к. он находится под горизонтом. Отвесная линия, проходящая через наблюдателя, пересекает небо над головой в точке зенита и в диаметрально противоположной точке, называемой надиром.
Ось видимого вращения небесной сферы, соединяющую оба полюса мира и проходящую через наблюдателя, называют осью мира. На горизонте под северным полюсом мира лежит точка севера , диаметрально противоположная ей точка - точка юга . Точки востока и запада лежат на линии горизонта и отстоят от точек севера и юга на 90°.
Плоскость, проходящая через центр сферы перпендикулярно оси мира, образует плоскость небесного экватора , параллельную плоскости земного экватора. Плоскость небесного меридиана проходит через полюсы мира, точки севера и юга, зенит и надир.
Небесные координаты
Система координат, в которой отсчет производится от плоскости экватора, называется экваториальной . Угловое расстояние светила от небесного экватора называется , которое меняется от -90° до +90°. Склонение считается положительным к северу от экватора и отрицательным к югу. измеряется углом между плоскостями больших кругов, один из которых проходит через полюсы мира и данное светило, второй — через полюсы мира и точку весеннего равноденствия, лежащую на экваторе.
Горизонтальные координаты
Угловым расстоянием называется расстояние между объектами на небе, измеряемое углом, который образован лучами, идущими к объекту из точки наблюдения. Угловое расстояние светила от горизонта называют высотой светила над горизонтом. Положение светила относительно сторон горизонта называется азимутом. Отсчет ведется от юга по часовой стрелке. Азимут и высоту светила над горизонтом измеряют теодолитом. В угловых единицах выражают не только расстояния между небесными объектами, но и размеры самих объектов. Угловое расстояние полюса мира от горизонта равно географической широте местности.
Высота светил в кульминации
Явления Прохождения светил через небесный меридиан называются кульминациями. Нижней кульминацией называется прохождение светил через северную половину небесного меридиана. Явление прохождения светилом южной половины небесного меридиана называется верхней кульминацией. Момент верхней кульминации центра Солнца называется истинным полднем, а момент нижней кульминации — истинной полночью. Промежуток времени между кульминациями - полсуток .
У незаходящих светил над горизонтом видны обе кульминации, у восходящих и заходящих нижняя кульминация
происходит под горизонтом, ниже точки севера. Каждая звезда кульминирует
в данной местности всегда на одной и той же высоте над горизонтом, потому что ее угловое расстояние от полюса мира и от небесного экватора не меняется. Солнце же и Луна меняют высоту, на
которой они кульминируют
.
Вследствие суточного вращения небесной сферы все светила описывают круги, плоскости которых параллельны плоскости небесного экватора, т.е. они движутся по суточным параллелям. В общем случае светило часть времени находится под плоскостью горизонта и не видно для наблюдателя.
Точка пересечения суточной параллели светила и восточной части горизонта называется точкой восхода светила , а точка пересечения с западной частью горизонта точкой захода светила . Суточная параллель пересекает небесный меридиан в двух точках. Явление пересечения светилом небесного меридиана называется кульминацией светила. Кульминация называется верхней , если светило пересекает верхнюю часть меридиана PZQSP", в которой находится точка зенита Z, и нижней , если светило пересекает небесный меридиан в его нижней части PNQ"Z"P", содержащей точку надира Z". В том случае, когда нижняя кульминация происходит над горизонтом (h > 0), такое светило называется незаходящим , а если даже во время верхней кульминации светило находится под горизонтом (h < 0), то оно называется невосходящим . Таким образом, все светила на небесной сфере разбиваются на три большие группы - незаходящие, невосходящие и светила, которые восходят и заходят (рис. 8). Принадлежность светила к той или иной группе определяется его склонением и широтой места наблюдения .
4.1.1. Горизонтальные координаты
Для звезд с :
Верхняя кульминация (см. рис. 9):
A =0 o ,
Нижняя кульминация:
A =180 o ,
Восход и заход:
A зависит от , z =90 o h =0 o .
Для звезд с :
Верхняя кульминация (см. рис. 10):
A =180 o ,
Нижняя кульминация:
A =180 o ,
Восход и заход: A зависит от , z =90 o h =0 o .
Таким образом мы видим, что верхняя кульминация светил может происходить как к югу, так и к северу от зенита, в зависимости от соотношения величин склонения и широты места наблюдения . Из этих же формул легко вывести условия видимости светил :
- незаходящие светила
- невосходящие светила
- светила восходят и заходят
Очевидно, что даже при строго равномерном вращении небесной сферы горизонтальные координаты изменяются неравномерно. Высота светил медленнее всего изменяется вблизи меридиана, а азимут в эти моменты изменяется наиболее быстро.
4.1.2. Экваториальные координаты
I система . Склонение остается неизменным. Поскольку точка Q сохраняет неизменное положение на небесной сфере, то часовой угол t светила непрерывно меняется. Так как часовой угол отсчитывается вдоль экватора, то приращение t для светила будет равно углу поворота небесной сферы, следовательно, часовой угол t меняется равномерно. В момент верхней кульминации t=0 o =0 h , а в момент нижней кульминации t=180 o =12 h .
II система . Склонение остается неизменным. Прямое восхождение также не изменяется, так как оно отсчитывается от точки весеннего равноденствия , которая сама участвует в суточном вращении небесной сферы.
Вопросы
2. Если наблюдатель находится на Северном полюсе Земли, то какие светила будут незаходящими, невосходящими, будут восходить и заходить? А на земном экваторе?
3. У каких светил можно наблюдать и верхнюю, и нижнюю кульминацию?
Задачи
7.
К каким светилам на широте Казани () относятся
Сириус (,
), Капелла (,
) и Альдебаран (,
)? Каково значение
зенитного растояния z этих звезд в моменты кульминаций?
Решение:
Вычислим значение угла (
для Казани
и сравним его со значением склонения звезд. Склонение Капеллы больше
этого угла, следовательно, эта звезда является незаходящей. Модуль склонений
остальных звезд меньше угла (), следовательно, они восходят и
заходят.
Для вычисления зенитных расстояний в моменты кульминаций воспользуемся формулами (3,5,7). Результаты для Сириуса: z вк = 72 o 27", z нк = 140 o 53". Для Капеллы: z вк = 9 o 49", z нк = 78 o 15". Для Альдебарана: z вк = 39 o 20", z нк = 107 o 46"
8. Решить предыдущую задачу применительно к Северо-Кавказской Астрономической Станции КГУ ().
9. Какое склонение должна иметь звезда, кульминирующая в Казани в зените?
10. (117) Каково склонение звезды, наблюдавшейся в Архангельске () в нижней кульминации на высоте 10 o .
11. (113) Восходит ли в Архангельске () звезда Фомальгаут ( Южной Рыбы), склонение которой равно -30 o 05".
При своем суточном вращении вокруг оси мира светила два раза за сутки пересекают небесный меридиан. Явление прохождения светилом небесного меридиана называется кульминацией .
Различают верхнюю и нижнюю кульминации. В верхней кульминации светило при суточном движении находится в наивысшей точке над горизонтом, ближайшей к зениту. Точка нижней кульминации светила более удалена от точки зенита, чем точка верхней кульминации, и нижняя кульминация происходит через половину суток после верхней кульминации.
Точка пересечения суточной параллели светила с восточной частью истинного горизонта называется точкой восхода светила , а точка пересечения с западной частью истинного горизонта - точкой захода светила .
Незаходящие звезды видны в верхней (\(M_{2}\), \(M_{3}\)) и нижней (\({M}"_{2}\), \({M}"_{3}\)) кульминациях. У восходящих и заходящих звезд нижняя кульминация (\({M}"_{1}\)) проходит под горизонтом. У невосходящих звезд обе кульминации \(M_{4}\), и \({M}"_{4}\) невидимы, т. е. происходят под горизонтом.
Найдем зависимость между географическими и небесными координатами.
Так как кульминация светил происходит при пересечении небесного меридиана, то плоскость совпадает с плоскостью небесного меридиана. Суточные пути звезд изображаются отрезками, параллельными небесному экватору \(Q{Q}"\). Пусть восходящая и заходящая звезда находится в верхней кульминации \(M_{1}\). Высота полюса мира равна географической широте \(\varphi\). \(\angle QOS\) равен \(90° - \varphi\) и представляет собой наклон небесного экватора к плоскости горизонта. Дуга \(M_{1}S\) (или \(\angle M_{1}OS\)) - это высота светила над горизонтом. Эта дуга состоит из сумм двух дуг: \(M_{1}S = SQ + QM_{1}\). Учитывая, что дуга \(SQ\), опирающаяся на \(\angle QOS\), определяется величиной \(90° - \varphi\), а дуга \(QM_{1}\) обозначает угловое расстояние звезды от небесного экватора и определяется величиной склонения \(\delta\), получим формулу для определения высоты звезды в ее верхней кульминации: \
Для незаходящей звезды нижняя кульминация \({M_{2}}"\) измеряется дугой \({M_{2}}"N\) или соответствующим центральным углом (\(\angle {M_{2}}"ON\)). Указанный угол равен разности \(\angle {M_{2}}"O{Q}"\) и \(\angle NO{Q}"\), где \(\angle {M_{2}}"OQ = \delta\) - угловое расстояние светила от небесного экватора, а \(\angle NO{Q}" = 90° - \varphi\) - наклон небесного экватора к плоскости горизонта. Значит, высота звезды в нижней кульминации равна: \
Если обе кульминации незаходящей звезды находятся по одну сторону от зенита (например, \(M_{3}\) и \({M_{3}}"\)), то ее верхняя кульминация определяется из соотношения: \(h_{В} = 180° - [(90° - \varphi) + \delta]\), или после упрощения: \
Соотношения \(h_{В} = (90° - \varphi) + \delta\), \(h_{Н} = \delta - (90° - \varphi)\) и \(h_{B} = 90° + \varphi - \delta\) связывают географическую широту с высотой и склонением звезд во время их кульминации. Отметим, что азимуты звезд в верхней кульминации \(M_{1}\) и \(M_{2}\) равны 0°, а азимуты звезд в нижней кульминации \({M_{1}}"\) и \({M_{2}}"\) равны 180°. Азимуты звезды \(M_{3}\) в верхней и нижней кульминациях равны 180°.